自作問題高校数学 [対数関数とマクローリン展開]

難易　( 1 )☆　( 2 )☆☆☆　( 3 )☆☆　( 4 )☆☆☆　( 5 )☆　( 6 )☆

関数\(f(x)=\ln(1+x)^{\displaystyle x}\)について,以下の問いに答えよ。

\(f(x)=f^{(0)}(x), \frac{\displaystyle d}{\displaystyle dx}f(x)=f^{(1)}(x), \frac{\displaystyle d^2}{\displaystyle dx^2}f(x)=f^{(2)}(x)\)であり、\(f^{(1)}(x)\)は第1次導関数,\(f^{(2)}(x)\)は第2次導関数を表す。

( 1 )　\(f^{(1)}(x), f^{(2)}(x), f^{(3)}(x)\)を各々求めよ。

( 2 )　\(n≧2\)に対して

　　　\(f^{(n)}(x)\)を求めよ。また,\(f^{(n)}(0)\)の値を求めよ。

　ここで、\(f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+…+a_{l}x^{l}+…\)の形(無限級数の形)で表すことを考える。

( 3 )　\(a_{l}(l=0,1,2,…)\)の値を求めよ。

( 4 )　\(\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}{a_{n}x^n}\)が収束する\(x\)の値を求めよ。

　整級数\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\alpha_{n}y^n}\)において,\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}{\left | \frac{\displaystyle \alpha_{n+1}}{\alpha_{n}}\right|}=\beta\)となる\(r\)(\(r \in \mathbb R\)または\(\infty)\)が存在すれば,\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\alpha_{n}y^n}\)は\(|x|<\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \beta}\)を満たす全ての\(x\)に対して絶対収束することを用いて良い。ただし\(|x|=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \beta}\)のときは検討せよ。

( 5 )　(4)で求めた\(x\)の値の範囲において,\(f(x)\)を無限級数の形で表せ。

( 6 )　\(\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}<\ln{3}-\ln{2}\)を示せ。