自作問題高校数学 [複素平面と１の冪根]

難易　( 1 )☆　( 2 )☆☆　( 3 )☆☆☆　( 4 )☆☆☆☆☆　※すべての設問において電卓の使用は認めない。

数列$\{a_{n}\},\{b_{n}\},\{c_{n}\}$を次のように定める。

\begin{eqnarray*} a_{n}&=&\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)\\&&\\b_{n}&=&\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\\&&\\c_{n}&=&a_{n}+ib_{n}\end{eqnarray*}

( 1 )　$x^{n}-1 　(n \in \mathbb{N})$　を実数範囲で因数分解せよ。

( 2 )　$c_{n}+c_{n}^{2}+c_{n}^{3}+\cdots +c_{n}^{n-1}=-1$を示せ。

( 3 )　ここで、

$$f_{k}(n)=\alpha_{1}c_{n}^{1}+\alpha_{2}c_{n}^{2}+\cdots +\alpha_{n-1}c_{n}^{n-1}$$

すなわち、

$$f_{k}(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} a_{k}c_{n}^{k}$$

を考える。

　ここで、$n=p$($p$は奇素数)であるとき

\begin{eqnarray*} k\equiv m^{2} (m \in \mathbb{Z})　(\mbox{mod}p) &\Leftrightarrow & \alpha_{k}=1 \\ k \not \equiv m^{2} (m \in \mathbb{Z})　 (\mbox{mod}p) &\Leftrightarrow & \alpha_{k}=-1\\k \equiv 0 　(\mbox{mod}p)&\Leftrightarrow &\alpha_{k}=0　\end{eqnarray*}

である。　$f_{k}(7)$を求めよ。

( 4 )　$\cos\frac{\displaystyle 10\pi}{\displaystyle 7}$の値を求めよ。

　ただし、$|z|=r(>0), \mbox{arg}z=\theta (-\pi<\theta<\pi)$を満たす$z(\in \mathbb{C})$に対して、

$$z=r(\cos\theta +i\sin\theta)$$

と定義する。

模範解答はhttps://mineboard.net/blog/archives/850から