自作問題 高校数学 [複素平面と1の冪根]
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難易 ( 1 )☆ ( 2 )☆☆ ( 3 )☆☆☆ ( 4 )☆☆☆☆☆ ※すべての設問において電卓の使用は認めない。
数列\(\{a_{n}\},\{b_{n}\},\{c_{n}\}\)を次のように定める。
\begin{eqnarray*} a_{n}&=&\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)\\&&\\b_{n}&=&\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\\&&\\c_{n}&=&a_{n}+ib_{n}\end{eqnarray*}
( 1 ) \(x^{n}-1 (n \in \mathbb{N})\) を実数範囲で因数分解せよ。
( 2 ) \(c_{n}+c_{n}^{2}+c_{n}^{3}+\cdots +c_{n}^{n-1}=-1\)を示せ。
( 3 ) ここで、
$$f_{k}(n)=\alpha_{1}c_{n}^{1}+\alpha_{2}c_{n}^{2}+\cdots +\alpha_{n-1}c_{n}^{n-1}$$
すなわち、
$$f_{k}(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} a_{k}c_{n}^{k}$$
を考える。
ここで、\(n=p\)(\(p\)は奇素数)であるとき
\begin{eqnarray*} k\equiv m^{2} (m \in \mathbb{Z}) (\mbox{mod}p) &\Leftrightarrow & \alpha_{k}=1 \\ k \not \equiv m^{2} (m \in \mathbb{Z}) (\mbox{mod}p) &\Leftrightarrow & \alpha_{k}=-1\\k \equiv 0 (\mbox{mod}p)&\Leftrightarrow &\alpha_{k}=0 \end{eqnarray*}
である。 \(f_{k}(7)\)を求めよ。
( 4 ) \(\cos\frac{\displaystyle 10\pi}{\displaystyle 7}\)の値を求めよ。
ただし、\(|z|=r(>0), \mbox{arg}z=\theta (-\pi<\theta<\pi)\)を満たす\(z(\in \mathbb{C})\)に対して、
$$z=r(\cos\theta +i\sin\theta)$$
と定義する。