難易　( 1 )☆　( 2 )☆☆　( 3 )☆☆☆　( 4 )☆☆☆☆　( 5 )☆☆

　以下の問いに答えよ。

\(x>1\)において以下の2つの関数を\(xy\)平面上で定義する。

$$f(x)=\frac{\displaystyle 2\sin(\ln {x^2})}{\displaystyle x} , g(x)=\frac{\displaystyle 2\cos(\ln {x^2})}{\displaystyle x}$$

　\(y=f(x)\)と\(y=g(x)\)で囲まれた部分の面積を\(y\)軸に近い部分から順に,\(S_0,S_1,S_2,…,S_n,…\)とする。また,\(S_0,S_1,S_2,…,S_n,…\)を\(x\)軸まわりに1回転させた図形の体積を各々\(V_0,V_1,V_2,…,V_n,…\)とする。

( 1 )　極限値\(\displaystyle\lim_{x \to 1+0}f(x)\), 極限値\(\displaystyle\lim_{x \to 1+0}g(x)\)を各々求めよ。

( 2 )　( i )\(f(x)=0\)　( ii )\(g(x)=0\)　( iii )\(f(x)-g(x)=0\)　( iv )\(f(x)+g(x)=0\)

　　 ( i )～( iv )を満たす\(x\)の値を各々求めよ。

( 3 )　\(S_{n}=S_{n+1}\)を示せ。

( 4 )　\(V_n\)を求めよ。

( 5 )　\(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty V_n\)を求めよ。

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