自作問題高校数学 [対数関数とマクローリン展開]

難易　( 1 )☆　( 2 )☆☆☆　( 3 )☆☆　( 4 )☆☆☆　( 5 )☆　( 6 )☆

関数 $f(x)=\ln(1+x)^{\displaystyle x}$ について,以下の問いに答えよ。

$f(x)=f^{(0)}(x), \frac{\displaystyle d}{\displaystyle dx}f(x)=f^{(1)}(x), \frac{\displaystyle d^2}{\displaystyle dx^2}f(x)=f^{(2)}(x)$ であり、 $f^{(1)}(x)$ は第1次導関数, $f^{(2)}(x)$ は第2次導関数を表す。

( 1 )　 $f^{(1)}(x), f^{(2)}(x), f^{(3)}(x)$ を各々求めよ。

( 2 )　 $n≧2$ に対して

　　　 $f^{(n)}(x)$ を求めよ。また, $f^{(n)}(0)$ の値を求めよ。

　ここで、 $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+…+a_{l}x^{l}+…$ の形(無限級数の形)で表すことを考える。

( 3 )　 $a_{l}(l=0,1,2,…)$ の値を求めよ。

( 4 )　 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}{a_{n}x^n}$ が収束する $x$ の値を求めよ。

　整級数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\alpha_{n}y^n}$ において, $\displaystyle \lim_{n \to \infty}{\left | \frac{\displaystyle \alpha_{n+1}}{\alpha_{n}}\right|}=\beta$ となる $r$ ( $r \in \mathbb R$ または $\infty)$ が存在すれば, $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\alpha_{n}y^n}$ は $|x|<\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \beta}$ を満たす全ての $x$ に対して絶対収束することを用いて良い。ただし $|x|=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \beta}$ のときは検討せよ。